TANIM: Birer kenarları ortak ve iç bölgeleri ayrık iki açıya KOMŞU AÇILAR denir.
TANIM: Komşu iki açının ortak olmayan kenarları zıt ışınlar ise bu iki açıya DOĞRUSAL
TANIM: Doğrusal çift oluşturan iki açı eş ise bu açılardan her birine DGK AÇI denir.
OB doğrusu, O noktasında AC doğrusuna diktir denir. B noktasından AC doğrusuna çizilen
B noktasından AC ye çizilebilecek başka bir dikmeden söz edilemez.(Bir doğruya üzerindeki
mAOB+mBOC = mAOD+mDOB+mBOC Eşitlik özelliği
mDOB+mBOC = mDOC Açı ölçülerini toplama aksiyomu
mAOB+mBOC = mAOD+mDOC Eşitlik özelliği
mAOB+mBOC = 900
+900
=1800
Dik açı tanımı
SONUÇ: Başlangıç noktaları ortak ışınların oluşturdukları tüm komşu açıların ölçüleri
toplamı 3600
dir.
TANIM: Ölçüleri toplamları 900
olan iki açıya TÜMLER AÇILAR denir.
TANIM: Ölçüleri toplamı 1800
olan iki açıya BÜTÜNLER AÇILAR denir.
TEOREM-2: Komşu iki açının ölçüleri toplamı 1800
ise komşu olmayan kenarları doğrusaldır.
Verilen: AOB ve BOC komşu açılar,
mAOB+mBOC=1800
Gstenen: A, O, C noktaları doğrusaldır.
AO doğrusu üzerinde D noktası alındığında:
mAOB+mBOD=1800
AOB ve BOD doğrusal açı çiftidir. (Teorem-1)
mAOB+mBOC=1800
Verildi.
mBOD=mBOC Eşitlikte kısaltma.
OC ve OD çakışıktır. Açılarda eşlik ve eşitlik.
A, O, C noktaları doğrusaldır.
TANIM: Kenarları birbirinin zıt ışını olan iki açıya TERS AÇILAR denir.
TEOREM-3: Ters açılar eştir.
Verilen: AOD ve BOC Ters açılar.
AOC ve BOD Ters açılar.
Gstenen: a=c ve b=d
a+b=1800
COA ve AOD Doğrusal açı çifti (Teorem-1 )
b+c=1800
AOC ve COB Doğrusal açı çifti (Teorem-1 )
a+b=b+c Eşitlikte geçişme özelliği.
a=c Eşitlikte kısaltma özelliği.
Benzer biçimde:
b+c=1800
AOC ve COB Doğrusal açı çifti (Teorem-1 )
c+d=1800
COB ve BOD Doğrusal açı çifti (Teorem-1 )
b+c=c+d Eşitlikte geçişme özelliği.
b=d Eşitlikte geçişme özelliği.
TANIM: Aynı düzlem içinde olup kesişmeyen doğrulara PARALEL DOĞRULAR denir.
d1
?
E, d2
?
E ve d1
?
d2=Ø
?
d1//d2
AKSİYOM: Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.
TEOREM-4: Düzlemde, aynı doğruya dik olan farklı iki doğru birbirine paraleldir.
Verilen:
Gstenen: //
ve doğrularının paralel olmayıp C gibi bir noktada kesiştiklerini kabul ettiğimizde,
nin dışındaki bu C noktasından ye farklı iki dikme çizilmiş olur ki bu mümkün değildir.
Bir doğruya üzerindeki veya dışındaki bir noktadan bir tek dik doğru çizilebilir.
Öyle ise // dir.
Aşağıdaki şekilde, ve gibi farklı iki doğruyu farklı A ve B noktalarında kesen bir
doğrusu verilmiştir. Bu üç doğru, köşeleri A ve B olan sekiz açı oluşturur.
Bu açıların ölçüleri: a, b, c, d, e, f, g, h ile gösterildiğinde:
Yöndeş açılar: a,e ; b,f ; c,g ; d,h
Gç ters açılar: d,f ; c,e
Dış ters açılar: a,g ; b,h
Karşı durumlu açılar: d,e ; c,f
PARALELLİK AKSİYOMU: ve gibi farklı iki doğruyu farklı A ve B noktalarında
kesen bir doğrusu verildiğinde; karşı durumlu bir açı çiftinin ölçüleri toplamı 1800
den
küçük ise, ve doğruları bu açıların bulunduğu tarafta kesişir.
d + e < 1800
ve doğruları kesişir.
TEOREM-5: Gki yöndeş açı eş ise doğrular birbirine paraleldir.
Verilen: a ve e yöndeş açılar, a=e
Gstenen: //
a+d=1800
Doğrusal açı çifti.
a=e Verildi.
e+d=1800
Eşitlikte yerine yazma özelliği.
// Paralellik aksiyomu.
TEOREM-6: Karşı durumlu iki açı bütünler ise doğrular birbirine paraleldir.
Verilen: d ve e karşı durumlu açılar, d+e=1800
Gstenen: //
d+e=1800
Verildi.
a+d=1800
Doğrusal açı çifti.
a+d=d+e Eşitlikte geçişme.
a=e Eşitlikte kısaltma.
// Teorem-5
TEOREM-7: Paralel iki doğru bir doğruyla kesildiğinde oluşan karşı durumlu açılar
bütünlerdir. (Teorem-6 nın karşıtı)
Verilen: // , d ve e karşı durumlu açılar.
Gstenen: d+e=1800
// iken d+e 1800
olsun.
d+e 1800
veya d+e 1800
olur ki her iki durumda da Paralellik aksiyomu gereği ,
ve doğruları kesişmek zorundadır.
// verildiğinden d+e=1800
olur.
TEOREM-8: Paralel iki doğru bir doğruyla kesildiğinde oluşan yöndeş açılar eştir.
(Teorem-5 in karşıtı.)
Verilen: // , a ve e yöndeş açılar.
Gstenen: a=e
// iken a e olsun.
a+d=1800
Doğrusal açı çifti.
e+d 1800
Eşitlik özelliği.
d+e 1800
veya d+e 1800
olur ki her iki durumda da Paralellik aksiyomu gereği ,
ve doğruları kesişmek zorundadır.
// verildiğinden a=e olur.
Bu arada bazı yayınlarda Teorem-5 ve Teorem-8 birleştirilerek Aksiyom olarak verilmiştir.
AKSGYOM: Farklı iki doğru üçüncü bir doğru ile kesildiğinde oluşan yöndeş açıların eş
olması için gerek ve yeter şart doğruların paralel olmasıdır.
a = e //
Yukarıda verilen teoremler ve sonuçlarını toparlarsak:
Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan açılardan :
Yöndeş açılar eştir.
1
?
5 ; 2
?
6 ; 3
?
7 ; 4
?
8
Gçters açılar eştir. 3
?
5 ; 4
?
6
Dışters açılar eştir. 1
?
7 ; 2
?
8
Karşı durumlu açılar bütünlerdir.
4 ile 5 ; 3 ile 6
Yanal durumlu açılar bütünlerdir.
1 ile 8 ; 2 ile 7
( İfadenin karşıtı da doğrudur.)